Математика ↠ Эскиз кривой ↠ Монотонность

Монотонность

Монотонность - это поведение наклона функции. Это говорит вам, когда функция идет вверх или вниз.

i

Общее

Функция предназначена для двух мест $x_1$ и $x_2$

  • возрастает монотонно если $f(x_1)\le f(x_2)$
  • убывает монотонно если $f(x_1)\ge f(x_2)$
  • строго (монотонно) возрастает если $f(x_1)< f(x_2)$
  • строго (монотонно) убывает если $f(x_1)> f(x_2)$
Monotony behavior
!

Запомни

Вы также можете определить монотонность поведения в интервале с производной

Функция дифференцируема на интервале $I$ и

  • возрастает монотонно если для всех $x\in I$ мы имеем $f'(x)\ge0$
  • убывает монотонно если для всех $x\in I$ мы имеем $f'(x)\le0$
  • строго монотонно возрастает если для всех $x\in I$ мы имеем $f'(x)>0$
  • строго монотонно убывает если для всех $x\in I$ мы имеем $f'(x)<0$
i

Способ

  1. Найдите производную
  2. Вычислите нуль (и) производной
  3. Определите интервалы
  4. Подставьте пример в производную

Пример

Исследуйте функцию $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$ на монотонность.

  1. Найдите производную

    $f'(x)=3x^2+4x-4$

  2. Вычислите нули производной

    Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя PQ формулу.
    $f'(x)=3x^2+4x-4\quad|:3$
    $f'(x)=x^2+\frac43x-\frac43$

    $x_{1.2} = -\frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
    $x_{1.2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{(\frac23)^2+\frac43}$
    $x_{1.2} = -\frac{2}{3} \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
    $x_{1.2} = -\frac{2}{3} \pm\frac43$
    $x_1=\color{blue}{-2} \quad x_2=\color{green}{\frac23}$

  3. Определите интервалы

    С нулями производной функции вы формируете интервалы, на которых исследуется поведение монотонности.
    $x_1=\color{blue}{-2} \quad x_2=\color{green}{\frac23}$

    $I_1(-\infty|\color{blue}{-2})$, $I_2(\color{blue}{-2}|\color{green}{\frac23})$, $I_3(\color{green}{\frac23}|\infty)$

  4. Подстановка примеров в производную

    Используйте любое значение из каждого интервала в производной.

    $I_1(-\infty|-2)$:
    Подстановка: $x=\color{red}{-3}$
    $f'(\color{red}{-3})=3\cdot(\color{red}{-3})^2+4\cdot(\color{red}{-3})-4$ $=11 > 0$
    => Производная положительна на интервале $I_1$, т.е. функция монотонно возрастает на этом интервале.

    $I_2(-2|\frac23)$:
    Подстановка: $x=\color{red}{0}$
    $f'(\color{red}{0})=3\cdot\color{red}{0}^2+4\cdot\color{red}{0}-4$ $=-4 < 0$
    => Производная отрицательна на интервале $I_2$, т.е. функция монотонно убывает на этом интервале.

    $I_3(\frac23|\infty)$:
    Подстановка: $x=\color{red}{1}$
    $f'(\color{red}{1})=3\cdot\color{red}{1}^2+4\cdot\color{red}{1}-4$ $=3 > 0$
    => Производная положительна на интервале $I_3$, т.е. функция монотонно возрастает на этом интервале.