Точка перегиба

В точке перегиба, график функции изменяет свое поведение.

Предпосылкой для наличия точек перегиба является то, что вторая производная имеет ноль в этой точке:
$f''(x_W)=0$

Точка перегиба существует, если в дополнение:
$f'''(x_W)\neq0$

$Inflection point$

Найдите точки перегиба функции $f(x)=x^3+2x^2-4x-8$.

Найдите производные
$f'(x)=3x^2+4x-4$ (первая производная не требуется)
$f''(x)=6x+4$
$f'''(x)=6$
Вычислите нули второй производной
$f''(x)=6x+4$
$x_W\Leftrightarrow f''(x_W)=0$

$6x+4=0\quad|-4$
$6x=-4\quad|:6$
$x_W=-\frac23$
Подставьте нули в третью производную
Мы используем только что определенные места в третьей производной.
$f'''(x)=6$

$f'''(-\frac23)=6\neq0$
=> Точка перегиба находится в положении $x=-\frac23$

Справка: Мы используем только что определенные места в третьей производной.
Определите точки перегиба
Нужно вычислить точки перегиба: поэтому вычислим координату y с помощью исходной функции.

$f(-\frac23)$ $=(-\frac23)^3+2\cdot(-\frac23)^2-4\cdot(-\frac23)-8$ $=-4.74$
=> Точка перегиба: $W(-\frac23|-4.74)$