Касательная плоскость

Относительное положение между сферой и плоскостью, называется касательной плоскостью.

Настройка касательной плоскости

Если вы задали центр $M$ сферы и точки соприкосновения $B$, вы можете использовать следующую формулу, чтобы создать касательную плоскость.

Вычислите точку соприкосновения

В случае касательной плоскости расстояние $d$ от центра сферы до плоскости соответствует радиусу $r$ (смотрите расстояние точки и плоскости).

Точка соприкосновения $B$ может быть вычислена. Для этого установите следующее уравнение прямой:

$\vec{OM}$ центр сферы и $\vec{n}$ нормальный вектор плоскости.

Пересечение прямой $g$ и плоскости $E$ является точкой соприкосновения.

Например

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=4$

1. Расстояние от $M$ до $E$

   Мы можем считать центр сферы из уравнения сферы.

   $M(-1|2|1)$

   Рассчитаем расстояние от центра $M$ до плоскости $E$. Сначала мы установили нормальную формулу Гессе.

   $|\vec{n}|=\left|\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$ $=1$

   Так как абсолютное значение равно 1, то это уже единичный нормальный вектор. У нас уже есть нормальная формула Гессе.

   $\left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

   Теперь центральная точка должна быть вставлена только для расчета расстояния.

   $d=\left|\left(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

   $d=\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|$

   $d=\left|0+0-2\right|$ $=|-2|$ $=2$

2. Проверьте состояние

   Сначала вы считываете радиус из уравнения сферы.

   $r=\sqrt{4}=2$

   Теперь мы рассмотрим, какой из трех случаев присутствует.

   $2=2$

   $d=r$

   Расстояние равно радиусу ($d=r$).

3. Настройте $g$ и точки пересечения с $E$

   Теперь речь идет о расчете новой точки соприкосновения. Уравнение прямой устанавливается так, как описано выше.

   $g: \vec{x} = \vec{OM} + t \cdot \vec{n}$

   $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

   Точка пересечения прямой и плоскости соответствует точке соприкосновения $B$.

   Уравнение прямой вставляется для $\vec{x}$ в плоскости.

   $(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $- \begin{pmatrix} 5 \\4 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

   
   

   $\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ t-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=0$

   $0+0+1\cdot(t-2)=0$
   $t-2=0\quad|+2$
   $t=2$

   Точка соприкосновения $B$ получается путем вставки вычисленного значения $t$ в уравнение прямой.

   $\vec{OB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

   $B(-1|2|3)$