Сферы и прямые

Существует три возможных относительных положения для сферы и прямой в пространстве.

Таким образом, сфера и прямая могут иметь одну, две или не иметь общей точки.

Отдельные координаты используются в уравнении сферы для вычисления точек пересечения.

Например

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$k: (x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$

1. Разбейте $g$ на 3 уравнения

   Мы заменяем $\vec{x}$ и записываем соответствующие координаты, как собственное уравнение.

   $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

   1. $x=5+3r$
   2. $y=6+2r$
   3. $z=5+2r$

2. Вставьте координаты

   Теперь эти уравнения используются в уравнении сферы для $x$, $y$ и $z$.

   $(x+1)^2+(y-2)^2$ $+(z-1)^2=17$

   $(5+3r+1)^2$ $+(6+2r-2)^2$ $+(5+2r-1)^2=17$

   $(6+3r)^2$ $+(4+2r)^2$ $+(4+2r)^2=17$

   Используйте биномиальную теорему для раскрытия скобок

   $36+36r+9r^2$ $+16+16r+4r^2$ $+16+16r+4r^2=17$

   $17r^2+68r+68=17\quad|-17$

   $17r^2+68r+51=0\quad|:17$

   $r^2+4r+3=0$

   Используйте формулу корней квадратного уравнения I для решения квадратного уравнения.

   $r_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{(\frac{p}2)^2-q}$
   $r_{1,2}=-2\pm\sqrt{2^2-3}$
   $r_{1,2}=-2\pm1$

   $r_{1}=-1$ и $r_{2}=-3$

3. Вставьте $r$

   Два вычисленных $r$ вставляются в уравнение прямой, чтобы получить точки пересечения.

   $\vec{OS_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$

   $\vec{OS_2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

   Это секущая, которая пересекает сферу в точке $S_1(2|4|3)$ и $S_2(-4|0|-1)$.