Относительное положение прямой и плоскости

Различаются три возможных относительных положения между прямой $g$ и плоскостью $E$.

• $g$ и $E$ пересекаются
  
• $g$ и $E$ параллельны
  
• $g$ прямая в плоскости $E$
  

Например

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\text{E: } 2x+y+2z=-2$

1. Перепишите уравнение прямой

   Вектор $\vec{x}$ в уравнении прямой заменяется на $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

   $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$

   Каждая строка соответствует уравнению

   1. $x=\color{red}{2+2r}$
   2. $y=\color{blue}{1-3r}$
   3. $z=\color{green}{1+4r}$

2. Вставьте $x$, $y$, $z$

   Отдельные уравнения для $x$, $y$, $z$ могут быть вставлены в декартово уравнение плоскости.

   $\text{E: } 2\color{red}{x}+\color{blue}{y}+2\color{green}{z}=-2$

   $2\cdot\color{red}{(2+2r)}$ $+\color{blue}{(1-3r)}$ $+2\cdot\color{green}{(1+4r)}$ $=-2$

   Теперь раскрываем скобки и преобразуем уравнение в $r$

   $4+4r+1-3r+2+8r$ $=-2$
   $7+9r=-2\quad|-7$
   $9r=-9\quad|:9$
   $r=-1$

3. Интерпретируйте результаты

   С тех пор как мы получили точный $r$, плоскость и прямая должны пересекаться, и вы можете вычислить пересечение.

   => Прямая $g$ и плоскость $E$ пересекаются.

   Пересечение вычисляется путем вставки $r=-1$ в уравнение прямой.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

   => пересечение $S(0|4|-3)$.