Расстояние от точки до плоскости

Формула Гессе может быть использована для вычисления расстояния между точкой $P$ и плоскостью $E$.

Для этого мы вставляем вектор положения $\vec{p}$ точки в нормальную формулу Гессе. Затем, получаем расстояние $d$ .

$d = |(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n_0}|$

Поскольку вы получаете отрицательные значения для точек ниже плоскости, но нет отрицательного расстояния, вам нужна сумма.

Если значение $d=0$ , то точка лежит на плоскости (точка на плоскости).

Для нахождения расстояния точки до плоскости сначала устанавливается нормальная форма Гессе, а затем вставляется точка.

$A(1|2|1)$

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

Составьте нормальную формулу Гессе

$|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}$ $=\sqrt{24}$

$\vec{n_0}= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ $=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}$

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix}=0$
Вставьте точку

$\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=|-\frac4{\sqrt{24}}|$ $\approx0.82$