Дифференцирование
Вычисление производной функции называется дифференцированием.
Существует два способа дифференцирования.
h-Метод
h-Метод предполагает использование дифференциального коэффициента . Вы подставляете не конкретное значение точки, а расстояние между точками ($h=x-x_0$), стремящееся к 0:
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
Примеры
Вычислите производную $f(x)=x^2$
-
Подставим
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}$
Используем формулы сокращенного умножения и упростим.
$=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}$ $=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{2xh+h^2}{h}}$ -
Упрощение
Теперь дробь нужно упростить, подставив 0 для h, тогда знаменатель будет равен 0 (деление на 0 запрещено!).
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{2xh+h^2}{h}}$
Упрощение
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{\frac{h(2x+h)}{h}}$ $=\lim\limits_{h \to 0}(2x+h)$ -
Подставим $h=0$
Теперь $h$ стремится к 0.
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}(2x+\overbrace{h}^{\to 0})=2x$
Использование правил дифференцирования при вычислении производной
Более простой способ дифференцирования функции - это использовать правила дифференцирования.
| Функция | Производная | |
|---|---|---|
| Закон постоянной, степени и коэффициента | ||
| $f(x)=c$ | $f'(x)=0$ | |
| $f(x)=x^n$ | $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ | |
| $f(x)=k\cdot g(x)$ | $f'(x)=k\cdot g'(x)$ | |
| Производная суммы | ||
| $f(x)=g(x)+h(x)$ | $f'(x)=g'(x)+h'(x)$ | |
| Производная произведения | ||
| $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ | $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)$ $+h'(x)\cdot g(x)$ | |
| Произведение частного | ||
| $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ | $f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x) -h'(x)\cdot g(x)}{(h(x))^2}$ | |
| Производная сложной функции | ||
| $f(x)=g(h(x))$ | $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ | |
Примеры
Закон степеней:
$f(x)=x^2$
$f'(x)=2x^{2-1}=2x$