Расстояние между параллельными прямыми

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

1. Проверьте параллелизм

   Поскольку этот метод работает только с параллельными линиями, вы должны проверить, являются ли эти прямые параллельными.

   Мы смотрим, являются ли векторы направления коллинеарными (параллельными).

   $\vec{a}=r\cdot\vec{b}$

   $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow r=3$

   Существует $r$: векторы кратны друг другу и, следовательно, параллельны.

2. Выбранная точка

   Вы можете взять любую точку на прямой. Однако, поскольку вы можете легко прочитать точку поддержки, это хороший вариант.

   $P(-1|0|3)$

3. Расстояние от точки до другой прямой

   Расстояние теперь можно рассчитать, как описано в разделе,расстояние точки и прямой.

   Сначала установите вспомогательную плоскость с $P$ в качестве опорной точки и вектора направления, в качестве нормального вектора.

   $\text{H: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

   $\text{H: } (\vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

   Перпендикулярная точка - это пересечение прямой $g$ и вспомогательной плоскости $H$. Для вычисления пересечения используется уравнение прямой для $\vec{x}$ на плоскости.

   $\left(\color{red}{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right)$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

   $\begin{pmatrix} 2+r \\ 2+r \\ -2 \end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=0$

   Вычислите скалярное произведение

   $(2+r)\cdot1+(2+r)\cdot1$ $+(-2)\cdot0=0$
   $4+2r=0\quad|-4$
   $2r=-4\quad|:2$
   $r=-2$

   Вставьте $r$ в $g$, чтобы получить перпендикулярную точку $F$.

   $\vec{OF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \color{red}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2-2 \\ 1-0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

   
   

   $F(-1|0|1)$

   Расстояние от перпендикулярной точки до точки $P$ также является расстоянием от прямой до этой точки.

   Расстояние между двумя точками можно легко вычислить с помощью векторов.

   $d=|\vec{PF}|$ $=\left| \begin{pmatrix} -1-(-1) \\ 0-0 \\ 1-3 \end{pmatrix}\right|$ $=\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\right|$ $=\sqrt{(-2)^2}$ $=2$

   Расстояние между двумя прямыми $g$ и $h$ составляет 2 LU.