Параллельные прямые

Параллельные прямые, делятся на параллельные и совпадающие линии.

Для того чтобы определить,параллельность или совпадение линий в трехмерном пространстве, можно использовать схему обработки.

Совпадающие линии

Совпадающая линия - это одна и таже прямая только с другим уравнением.

!

Требования

  1. Векторы направления коллинеарны
  2. Вектор положения одной прямой, имеет свою конечную точку на другой прямой ( проверьте, находится ли точка на прямой)

Параллельная прямая

Линии с параллельными векторами направления, которые не совпадают параллельны.

!

Требования

  1. Векторы направления коллинеарны
  2. Конечная точка вектора положения одной прямой не находится на другой линии
i

Информация

Вообще, для второго требования вы можете взять любую точку одной прямой и проверить, находится ли она на другой (в обоих случаях). Однако, поскольку вектор положения уже задан, вы можете легко использовать его.

Например

$\text{g: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\text{h: } \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

  1. Являются ли векторы направления коллинеарными?

    Во-первых, проверьте, являются ли векторы направления кратными друг другу (=коллинеарными).

    $\vec{a}=t\cdot\vec{b}$

    $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Вычислите $t$ для каждой строки

    $-3=t\cdot(-3)$
    $5=t\cdot5$
    $2=t\cdot2$

    Если $t$ имеет одинаковое значение в каждой строке (здесь: $t=1$), то векторы коллинеарны.

  2. Вставьте вектор $h$ в $g$

    Теперь вектор положения одной линии (здесь: $h$) вставляют в другой.

    $\begin{pmatrix} -3 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

    Теперь мы составляем систему уравнений и решаем его. Если $r$ равно одному и тому же значению в каждом уравнении, то конечная точка вектора положения находится на обеих прямых и, следовательно, они совпадают.

    1. $-3=3-3r$
    2. $14=4+5r$
    3. $10=6+2r$

    1. $r=2$
    2. $r=2$
    3. $r=2$

    => Прямые совпадают.