Векторное уравнение плоскости

Кроме того, плоскость может быть описана с помощью точки и вектора, перпендикулярного плоскости, называемой нормальным вектором.

Векторное уравнение плоскости имеет следующий вид:

• $\vec{a}$ - вектор положения
• $\vec{n}$ - нормальный вектор

Параметрическое уравнение → Векторное уравнение

Например

$\text{E: } \vec{x} = \color{green}{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}} + r \cdot \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}$ $+ s \cdot \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}}$

1. Вектор положения

   $\vec{a}=\color{green}{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$

2. Нормальный вектор

   Вариант 1

   Поскольку оба вектора направления перпендикулярны нормальному вектору $\vec{n}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, скалярное произведение должно привести к нулю.

   1. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = 0$
   2. $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}} = 0$

   Теперь можно вычислить скалярное произведение.

   1. $1x+1y=0$
   2. $1x+5y+2z= 0$

   II.-I.

   $4y+2z=0$

   Выберите любое значение $z$ , например $z=4$

   $4y+8=0\quad|-8$
   $4y=-8\quad|:4$
   $y=-2$

   Вычислите $x$, используя I. (вставьте $y$)

   $x+y=0$
   $x-2=0\quad|+2$
   $x=2$

   $\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

   Вариант 2

   Теперь мы вычисляем только перекрестное произведение векторов.

   $\vec{n}$ $=\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}} \times \color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}}$ $=\begin{pmatrix} 1\cdot2 - 0\cdot5 \\ 0\cdot1 - 1\cdot2 \\ 1\cdot5 - 1\cdot1 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

3. Вставьте

   $\text{E: } (\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

   $\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

Векторное уравнение → параметрическое уравнение

Например

$\text{E: } \left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}=0$

1. Вектор положения

   $\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. Вектор направления

   Используя нормальный вектор, мы можем определить оба вектора направления, необходимые для Параметрического уравнения.

   1. Вектор направления

   Должен быть найден вектор, с которым скалярное произведение равно нулю.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} \, \\ \, \\ \, \end{pmatrix}} = 0$

   Особенно легко заменить первую координату на 0,а затем поменять местами две другие координаты и изменить знак.

   $\begin{pmatrix} 2 \\ \color{red}{-2} \\ \color{red}{4} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ \color{blue}{-4} \\ \color{blue}{-2} \end{pmatrix} = 0$

   $\vec{u}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

   2 Вектор направления

   $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\color{blue}{\begin{pmatrix} \, \\ \, \\ \, \end{pmatrix}} = 0$

   Здесь последняя координата должна быть заменена на 0, а две другие координаты должны изменить знак.

   $\begin{pmatrix} \color{red}{2} \\ \color{red}{-2} \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \color{blue}{-2} \\ \color{blue}{-2} \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

   $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. Вставьте

   $\text{E: } \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

   $\text{E: } \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ $+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$