Математика ↠ Правила интегрирования ↠ Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - это способ интегрирования произведения. Это обратное от правила произведения различных значений:

$\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x =$ $f(x)\cdot g(x) - \int f'(x)\cdot g(x) \, \mathrm{d}x$
i

Справка

Интегрирование по частям часто используется, когда интеграл является произведением двух функций, у одной из которых легко найти производную, а другую легко интегрировать.
!

Справка

Новый интеграл $\int f'(x)\cdot g(x)$ не должен быть сложнее предыдущего.
Для $f(x)$ нужно взять множитель, который упрощает интеграл, когда берется производная.
i

Способ

  1. Определите $f(x)$ и $g'(x)$
  2. Вычислите $f'(x)$: возьмем производную от $f(x)$
  3. Вычислите $g(x)$: интегрируем $g'(x)$
  4. Подставьте и решите интеграл

Пример

Решите интеграл $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ интегрированием по частям.

  1. Определите $f(x)$ и $g'(x)$

    $f(x)=x$
    $g'(x)=\cos(x)$
    Производная от $x$ = 1, что упрощает интеграл.

  2. Вычислите $f'(x)$: возьмем производную от $f(x)$

    $f(x)=x$
    $f'(x)=\color{blue}{1}$

  3. Вычислите $g(x)$: интегрируем $g'(x)$

    $g'(x)=\cos(x)$
    $g(x)=\color{green}{\sin(x)}$
    Подсказка: Первообразную от $\cos(x)$ и некоторые другие основные функции следует запомнить.

  4. Подставьте и решите интеграл

    Во-первых, используются $f'(x)$ и $g(x)$:
    $\int f(x)\cdot g'(x) \, \mathrm{d}x$ $=f(x)\cdot \color{green}{g(x)} - \int \color{blue}{f'(x)}\cdot \color{green}{g(x)} \, \mathrm{d}x$

    $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\color{green}{\sin(x)} - \int \color{blue}{1}\cdot\color{green}{\sin(x)} \, \mathrm{d}x$
    $=x\cdot\sin(x) - \color{red}{\int \sin(x) \, \mathrm{d}x}$

    Теперь необходимо решить интеграл.
    $\color{red}{\int \sin(x)\, \mathrm{d}x}=-\cos(x)$

    Подставьте решенный интеграл:
    $\int x\cdot\cos(x) \, \mathrm{d}x$ $=x\cdot\sin(x) - (-\cos(x))$ $=x\cdot\sin(x)+\cos(x)\color{purple}{+C}$
i

Справка

Если это, как в данном случае, неопределенный интеграл, то константа $\color{purple}{C}$ должна быть в конце.