Интегрирование методом замены переменной

Как при цепном правиле, когда берется производная, интегрирование сложных функций происходит путем интегрирования методом замены.

Преобразование дифференциала производится по формуле

Пример

$\int (3x+2)^3 \, \mathrm{d}x$

1. Замена

   Мы устанавливаем $z$, чтобы заменить сложную часть.

   $z=3x+2$

   Подставьте $z$ в функцию

   $\int (\color{red}{3x+2})^3 \, \mathrm{d}x$

   $\int \color{red}{z}^3 \, \mathrm{d}x$

2. Подстройте дифференциал

   Меняем дифференциал по формуле:

   $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=z'$

   Берем производную от $z$ для $z'$

   $z'=(3x+2)'=3$

   Подставьте

   $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=3$

   Преобразование для dx

   $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}z}{3}$

3. Интегрирование

   Подставьте новый дифференциал в интеграл.

   $\int z^3 \, \color{red}{\mathrm{d}x}$

   $\int z^3 \, \color{red}{\frac{\mathrm{d}z}{3}}$

   Перепишите интеграл и интегрируйте его, используя известные правила интегрирования.

   $\int \frac13 z^3 \, \mathrm{d}z$ $=\frac1{12} z^4+C$

4. Обратная замена

   Теперь мы почти закончили.Осталось только заменить $z$ снова.

   $z=3x+2$

   $\frac1{12} \color{red}{z}^4+C$ $=\frac1{12}(\color{red}{3x+2})^4+C$

   Таким образом, решение:

   $\int (3x+2)^3 \, \mathrm{d}x$ $=\frac1{12}(3x+2)^4+C$