Метод замены

Биквадратные уравнения - уравнения, содержащие 4ю степень вида:

Биквадратные уравнения можно упростить до квадратного уравнения путем замены $x^2=z$.

Пример

Решите биквадратное уравнение: $x^4-3x^2+2=0$

1. Замена

   Данное уравнение решается заменой $x^2$ на $z$.
   $x^4-3x^2+2=0$
   
   $z=x^2$
   $z^2-3z+2=0$

2. Решим квадратное уравнение

   Полученное квадратное уравнение может быть решено, например, используя pq-формулу.
   $z^2-3z+2=0$
   
   $z_{1,2} = \frac{p}{2} \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
   
   $z_{1,2} = \frac32 \pm\sqrt{(\frac32)^2-2}$
   $z_{1,2} = \frac32 \pm\sqrt{\frac14}$
   $z_{1,2} = \frac32 \pm\frac12$
   
   $z_1=2$ и $z_2=1$

3. Обратная замена

   Теперь вы можете вычислить $x$ исходя из значения $z$.
   Чтобы сделать это, мы берем первоначальное уравнение и преобразуем его:
   $x^2=z\quad|\pm\sqrt{}$
   $x=\pm\sqrt{z}$
   
   Используем оба значения z.
   $x_{1,2}=\pm\sqrt{z_1}$
   $x_1=\sqrt{2}\approx1.41$
   $x_2=-\sqrt{2}\approx-1.41$
   
   $x_{3,4}=\pm\sqrt{z_2}$
   $x_3=\sqrt{1}=1$
   $x_4=-\sqrt{1}=-1$