Восстановление чисел

Иногда вы знаете производную или можете выверить изменение, но не знаете исходное значение функций.

Далее можно интегрировать $f'$ и использовать значение функции для нахождения определенного интеграла $C$.

Например

Найдите функциональное уравнение $f$ со скоростью изменения $f'(x)=\frac12x$ и значением $f(2)=-1$.

1. Интеграция

   $f'$ является ли скорость изменения $f$.Интегрируя мы получаем неопределенные интегралы от f '.Наша функция однин из неопределенных интегралов .

   $\int \frac12x\,\mathrm{d}x$ $=\frac14x^2\color{red}{+C}$

2. Рассчитайте C

   $f_C(x)=\frac14x^2\color{red}{+C}$

   $f(2)=-1$

   Теперь используйте значение функции и уравнение преобразуется в C.

   $-1=\frac14\cdot2^2+C$
   $-1=1+C\quad|-1$
   $C=-2$

3. Определите функцию

   Вставьте полученное значение $C$, чтобы определить нашу функцию.

   $f(x)=\frac14x^2-2$

Приложение

Существует множество возможных примеров и приложений для решения данных задач. Вот список некоторых из них.