Производные показательных функций

При вычислении производной от общих показательных функций используется : натуральный логарифм.

Например

$f(x)=2^x$
$f'(x)=2^x\cdot\ln(2)$

Вывод

Здесь описывается нахождение производной.

Мы ищем производную от $f(x)=a^x$

1. Перепишите как показательную функцию

   Поскольку ln-функция является обратной экспоненциальной функцией, то применяется следующее:

   $x=e^{\ln(x)}$
   $a^x=e^{\ln(a^x)}$

   Теперь, закон логарифмов применяется для степеней.
   $a^x=e^{x\cdot\ln(a)}$

   $f(x)=a^x=e^{x\cdot\ln(a)}$

2. Вычислите производную от показательной функции

   $f(x)=e^{g(x)}$
   $f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)$
   
   $f(x)=e^{x\cdot\ln(a)}$
   $f'(x)=e^{x\cdot\ln(a)}\cdot(x\cdot\ln(a))'$

   $\ln(a)$является постоянным коэфициентом ( (правило постоянного коэфициента ) и $(x)'=1$

   $f'(x)=e^{x\cdot\ln(a)}\cdot\ln(a)$

3. Перепишите показательную функцию

   Примените решение с первого шага :

   $a^x=e^{x\cdot\ln(a)}$
   
   $f'(x)=e^{x\cdot\ln(a)}\cdot\ln(a)$
   $f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$