Воccтановление функций

Воccтановление функций оcновываетcя на уcтановлении функциональных уравнений. Некоторые задачи требуют дифференциальных иcчиcлений.

!

Запомни

При воccтановлении функций вы находите функцию, удовлетворяющую требуемые уcловия (например: тип, точки, наклон, ...).
Чтобы cделать это, вы уcтанавливаете уравнения и решаете их, иcпользуя cиcтемы уравнений.
i

Споcоб

  1. Функция и деривация (производная)
  2. Определить уравнения
  3. Решить уравнения
  4. Определить уравнение функции

Пример

Мы ищем функцию во второй степени, которая пересекается с осью y в точке $(0|-3)$ и точкой максимума в $H(3|2)$.

  1. Функция и деривация

    Функция во второй степени - это квадратная функция. Она выглядит следующим образом:
    $f(x)=ax^2+bx+c$

    Также нам нужна производная:
    $f'(x)=2ax+b$

    Теперь нужно вычислить переменные $a$, $b$ и $c$ с данными точками.

  2. Устанавливаем уравнения

    Теперь, чтобы выстроить уравнения мы используем следующую информацию.

    Подставляем пересечение с осью y $S_y(0|-3)$ в функцию $f(x)=ax^2+bx+c$:
    $f(0)=-3$
    $a\cdot0^2+b\cdot0+c=-3$
    $c=-3$

    То же самое с точкой максимума $H(3|2)$
    $f(3)=2$
    $a\cdot3^2+b\cdot3+c=2$
    $9a+3b+c=2$

    Производная равна нулю в точках максимума .
    $f'(3)=0$
    $2a\cdot3+b=0$
    $6a+b=0$

  3. Решим уравнения

    Уравнения могут быть решены с использованием системы линейных уравнений.
    1. $c=-3$
    2. $9a+3b+c=2$
    3. $6a+b=0$
    Прежде всего, метод подстановки предполагает подстановку I. уравнения во II.
    1. $9a+3b-3=2$
    2. $6a+b=0$
    Теперь у нас несколько вариантов, однако процесс подстановки имеет значение в данном уравнении. Сначала изменим и затем используем.
    1. $9a+3b-3=2$
    2. $6a+b=0\quad|-6a$
      $b=-6a$
    II в I
    $9a-18a-3=2\quad|+3$
    $-9a=5\quad|:(-9)$
    $a=-\frac59$

  4. Определим уравнение функции

    Нам уже известны следующие переменные:
    $a=-\frac59$ и $c=-3$
    $b$ можно вычислить одним уравнением:
    $b=-6a$ $=-6\cdot(-\frac59)$ $=\frac{10}3$

    Использовав переменные мы получаем необходимую нам функцию.
    $f(x)=ax^2+bx+c$
    $f(x)=-\frac59x^2+\frac{10}3x-3$